因式分解的应用 知识点题库

任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）= ． 例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）== ． 给出下列关于F（n）的说法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（　　）

已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a²+2b²+c²﹣2ab﹣2bc=0，请判断△ABC的形状并证明你的结论．

已知a+b=2，ab=﹣3，

发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．

已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴,则△ABC的形状为(   )

把多项式 分解因式，结果正确的是（   ）

对于多项式x³﹣5x²+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x³﹣5x²+x+10的值为0，由此可以断定多项式x³﹣5x²+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x³﹣5x²+x+10＝（x﹣2）（x²+mx+n），分别求出m、n后再代入x³﹣5x²+x+10＝（x﹣2）（x²+mx+n），就可以把多项式x³﹣5x²+x+10因式分解.

我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式.通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的.这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题.

例如：方程 就可以这样来解：

解：原方程可化为：

所以 或者

解方程 得：

所以原方程的解： ，

根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：

    

如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，若a为正整数，且 为和谐分式，则a= ．

计算： .

甲乙两个同学分解因式x²+ax+b时，甲看错了b ， 分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a ， 分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝．

利用因式分解计算： （    ）

若a＜ ＜b，且a，b为连续正整数，则b²﹣a²=.

已知 ， ， 为 三边，且满足 则 是（   ）

若 则 的结果是多少？

先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等.分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法.

如①和②：

①

②

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

阅读例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x²+4x+m有一个因式是（x+1），求另一个因式及m的值．

解：设另一个因式为（x+n），得x²+4x+m＝（x+1）（x+n），则

x²+4x+m＝x²+（n+1）x+n ，

∴ ，

解得 ，

∴另一个因式（x+3），m的值为3．

问题：已知二次三项式2x²+x+k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式及k的值．

下面是多项式x³+y³因式分解的部分过程，．

解：原式＝x³+x²y﹣x²y+y³（第一步）

＝（x³+x²y）﹣（x²y﹣y³）（第二步）

＝x²（x+y）﹣y（x²﹣y²）（第三步）

＝x²（x+y）﹣y（x+y）（x﹣y）（第四步）

＝　    　 ．

阅读以上解题过程，解答下列问题：

如图，边长为、的长方形周长为 ， 面积为 ， 则的值为（  ）