代数式知识点题库

观察下列各式：

$\text{[math]}$

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：

（1） $\text{[math]}$
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）表示的等式：；
（3）利用上述规律计算： $\text{[math]}$ （仿照上式写出过程）

用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖块，第n个图形中需要黑色瓷砖块（用含n的代数式表示）.

如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去 $\text{[math]}$ 记正方形ABCD的边为 $\text{[math]}$ ，按上述方法所作的正方形的边长依次为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，根据以上规律写出 $\text{[math]}$ 的表达式．

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若单项式x^m+1y²与-2x³y^n-1的和仍是单项式，则(m-n)ⁿ的值为.

“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它在数学运算、推理中有广泛的应用．如：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．利用上述思想方法计算：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ ．

李华在作业中得到如下结果：

$\text{[math]}$

根据以上，李华猜想：对于任意锐角 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$

（1）当 $\text{[math]}$ 时，验证 $\text{[math]}$ 是否成立；
（2）李华的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
（3）小明发现一次函数解析式中的k值（一次项系数的值）其实就是该一次函数图象与x轴所形成的夹角的正切值，已知平面直角坐标系中有两条直线互相垂直， $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 根据以上结论，探究当平面直角坐标系中两直线垂直时 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并画图证明．

用相同的黑色棋子如图5所示的方式摆放，第1个图由6个棋子组成，第2个图由15个棋子组成，第3个图由28个棋子组成……按照这样的规律排列下去，第6个图由个棋子组成。

如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第6个图形需要黑色棋子的个数是，第 $\text{[math]}$ 个图形需要的黑色棋子的个数是．（ $\text{[math]}$ 为正整数）

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一个n位数（ $\text{[math]}$ ，n为正整数），我们把最高位上的数移到它的右侧，得到一个新数，再将新数的最高位上的数移到它的右侧，又得到一个新数，…，依次类推，我们把这样操作得到的新数都叫做原数的“谦虚数”.比如56有一个“谦虚数”是65；156有两个“谦虚数”分别是561、615；2834有三个“谦虚数”分别是8342、3428、4283.

（1）请写出四位数5832的三个“谦虚数”.
（2）一个两位数，个位上的数与十位上的数和为9，如果这个两位数比它的“谦虚数”少9，求这个两位数.
（3）一个三位数，百位上的数为a，十位上的数为1，个位上的数为b，如果这个三位数与它的两个“谦虚数”的和能被5整除，求 $\text{[math]}$ 的值.

对于实数m ， n ，定义运算m⊗n＝mn²﹣n ．若2⊗a＝1⊗（﹣2）则a＝．

（模型定义）

它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．

（1）（模型探究）
如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．
（2）（模型应用）
如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；
（3）如图3，P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC＝3：4：5，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接CM，求∠APB的度数是．
（4）（拓展提高）
如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数．（用含有m的式子表示）
（5）如图5，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，请证明BD和CE的数量关系和位置关系．
（6）如图6，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．
（7）（深化模型）
如图7，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的结论有．

观察下列各式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…

（1）请根据上式填写下列各题：
① $\text{[math]}$ =；

② $\text{[math]}$ =；（n是正整数）

③ $\text{[math]}$ =；（n≥2的正整数）
（2）计算： $\text{[math]}$ .

如图是由非负偶数排成的数阵：

（1）写出图中“H”形框中七个数的和与中间数的关系，
（2）在数阵中任意做一个这样的“H”形框，（1）中的关系任然成立吗？并写出理由
（3）用这样的“H”形框能框出和为2023的七个数吗？如果能，求出七个数的中间数；如果不能，请写出理由.

观察下列各式：

$\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，

所以 $\text{[math]}$ ；

所以

（1） $\text{[math]}$ （） $\text{[math]}$ ．
（2）根据以上规律填空：
$\text{[math]}$ （） $\text{[math]}$ [] $\text{[math]}$ ．
（3）猜想： $\text{[math]}$ ．

如果代数式2x-y的值是5．那么代数式7-6x+3y的值是

定义一种新运算“*”，即m*n＝（m+2）×3﹣n.例如2*3＝（2+2）×3﹣3＝9.比较结果的大小：2*（﹣2）的值是

某学校初一年级参加社会实践课，报名第一门课的有x人，第二门课的人数比第一门课的 $\text{[math]}$ 少20人，现在需要从报名第二门课的人中调出10人学习第一门课，那么：

（1）报两门课的共有多少人？
（2）调动后，报名第一门课的人数为多少人？第二门课人数为多少人？
（3）调动后，报名第一门课比报名第二门课多多少人？

如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的值是．

如下图，把个两个电阻R₁ ， R₂串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，则U的值为．

二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，点 $\text{[math]}$ 位于坐标原点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 在y轴的正半轴上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 在二次函数 $\text{[math]}$ 位于第一象限的图象上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则 $\text{[math]}$ 的斜边长为．

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