2019-2023高考数学真题分类汇编17 数列递推及求和、数学归纳法

已知数列{a_n}，从中选取第i₁项、第i₂项…第i_m项（i₁<i₂<…<i_m）.若a_i1<a_i2<…<a_im.则称新数列a_i1 ， a_i2 ， …，a_im.为{a_n}的长度为m的递增子列.规定：数列{a_n}的任意一项都是{a_n}的长度为1的递增子列.

（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（II）已知数列{a_n}的长度为P的递增子列的末项的最小值为a_m0 ， 长度为q的递增子列的末项的最小值为a_n0 ， 若p<q，求证：a_m0<a_n0；

（III）设无穷数列{a_n}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{a_n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2^s-1个（s=1.2.…），求数列{a_n}的通项公式。

设a，b∈R ， 数列{a_n}，满足a₁ =a，a_n+1= a_n²+b，b∈N^* ， 则（   ）

已知数列{a_n}满足  (n∈N)，若2≤a₁₀≤3，则a₁的取值范围是（   ）

数列 满足 ，前16项和为540，则 .

设数列{a_n}满足a₁=3， ．

已知数列{a_n}满足a_n＝ ，则S₃＝．

已知 是无穷数列．给出两个性质：

①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ；

②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ．

(Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列.

某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20dm×12dm的长方形纸.对折1次共可以得到10dm×2dm、20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和 S₁ =240 dm² ， 对折2次共可以得5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和 S₂=180dm²。以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么 =dm.

设p为实数．若无穷数列{a_n}满足如下三个性质，则称{a_n}为R_P数列：
：① ， ；
② ；
③ （m=1，2，…；n=1，2，…）  ．

已知数列 的各项均为正数，其前 项和 ，满足 给出下列四个结论：

① 的第2项小于3；    ② 为等比数列；

③ 为递减数列；    ④ 中存在小于 的项。

其中所有正确结论的序号是．