题目

如图所示，PQC为高1.8m的三角形斜坡，倾角θ=37°，P点左侧有一平台与半径为1.25m的四分之一圆弧底部相切，平台表面与圆轨道均光滑，一质量为3kg的B球静止在平台右侧紧靠P点处。现让一质量为m的小球A从圆弧左侧与圆心等高处静止释放，A球下滑至平台并与B球发生碰撞，碰后其中一个小球落在斜面上的M点，M点和P点的水平距离为0.15m，另一小球恰好落在斜面的底端Q点。A、B两球可视为质点，g=10m/s2 ． 求： （1） A球到达圆弧底端时对轨道的压力和重力的比值； （2） 落点分别为M和Q时，小球从P点抛出时的速度大小； （3） 求出符合题意的A球质量m的可能值，并对结果进行合理性论证。 答案： 解：根据机械能守恒 mgR=12mv2 代入数据得 v=2gR=5m/s 在圆轨道最低点 N−mg=mv2R 解得N=3mg 由牛顿第三定律可知 F=N=3mg 则 Fmg=3 解：①若碰后两球都向右运动，据平抛运动 h=12gt2 x=v0t tanθ=yx 可得 v0=gx2tanθ 落点为M时xM=0.15m， 落点为Q时 xQ=PCtan37°=2.4m 代入数据可得vOM=1m/s vOQ=1m/s 解：①碰后AB都向右运动vA1=vOM=1m/s，vB1=vOQ=4m/s 由动量守恒 mv=mvA1+mBvB1 得m=3kg 碰前总动能 EK1=12×3×52 碰后总动能 E′K1=12×3×12+12×3×42 因为 EK1>E′K1 其解成立。 ②若碰后A球向左运动，B球向右运动，则可能有： vA2=−vOM=−1m/s ， vB2=−vOQ=4m/s 由动量守恒 mv=mvA2+mBvB2 得m=2kg 碰前总动能 EK2=12×2×52 碰后总动能 E′K2=12×2×(−1)2+12×3×42 因为 EK2>E′K2 其解成立。 ③若碰后A球向左运动，B球向右运动，则可能有∶ vA3=−vOQ=−4m/s ， vB3=vOM=1m/s 由动量守恒 mv=mvA3+mBvB3 得 m=13kg 碰前总动能 EK3=12×13×52 碰后总动能 E′K3=12×13×(−4)2+12×3×12 因为 EK3>E′K3 其解成立。

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