题目

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点． （1） 求证：PA∥平面BMD； （2） 求证：AD⊥PB； （3） 若AB=PD=2，求点A到平面BMD的距离． 答案： 证明：设AC和BD交于点O，则由底面ABCD是平行四边形可得O为AC的中点． 由于点M为PC的中点，故MO为三角形PAC的中位线，故MO∥PA．再由PA不在平面BMD内，而MO在平面BMD内，故有PA∥平面BMD 证明：由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，平行四边形ABCD中，∵∠BCD=60°，AB=2AD， ∴cos∠BAD= ADAB =cos60°= 12 ，∴AD⊥BD．这样，AD垂直于平面PBD内的两条相交直线，故AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB 解：若AB=PD=2，则AD=1，BD=AB•sin∠BAD=2× 32 = 3 ， 由于平面BMD经过AC的中点，故点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离．取CD得中点N，则MN⊥平面ABCD，且MN= 12 PD=1．设点C到平面MBD的距离为h，则h为所求．由AD⊥PB 可得BC⊥PB，故三角形PBC为直角三角形．由于点M为PC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得MD=MB，故三角形MBD为等腰三角形，故MO⊥BD．由于PA= PD2+AD2 = 4+1 = 5 ，∴MO= 52 ． 由VM﹣BCD=VC﹣MBD 可得， 13 •（ 12×AB×AD×sin∠BAD ）•MN= 13 •（ 12 ×BD×MO ）×h，故有 13 ×（ 12×2×1×sin600 ）×1= 13 •（ 12×3×52 ）•h，解得h= 255 ．

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