题目

如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点．（I）求证：EM⊥AD；（II）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值；（III）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 答案：（Ⅰ）证明：∵EA=EB，M是AB的中点，∴EM⊥AB，∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EA⊂平面ABE，∴EM⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴EM⊥AD．（Ⅱ）解：∵EM⊥平面ABCD，∴EM⊥MC，∵△ABC是正三角形，∴MC⊥AB．∴MB、MC、ME两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系M﹣xyz．则M（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（0， 3 ，0），E（0，0， 3 ），BC→ =（﹣1， 3 ，0）， BE→ =（﹣1，0， 3 ），设 m→ =（x，y，z）是平面BCE的一个法向量，则 {m→⋅BC→=−x+3y=0m→⋅BE→=−x+3z=0 ，令z=1，得 m→ =（ 3，1，1 ），∵y轴与平面ABE垂直，∴ n→ =（0，1，0）是平面ABE的一个法向量．cos＜ m→，n→ ＞= m→⋅n→|m→|⋅|n→| = 15×1 = 55 ，∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为 55 ．（III）假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°．AE→ =（1，0， 3 ）， EC→ =（0， 3，−3 ），设 EP→ = λEC→ =（0 3λ ，﹣ 3λ ），（00≤λ≤1），则 AP→ = AE→+EP→=(1，3λ，3−3λ) ，∵直线AP与平面ABE所成的角为45°，∴sin45°=|cos＜ AP→，n→ ＞|= |AP→，n→||AP→|⋅|n→| = |3λ|1+3λ2+3−6λ+3λ2×1 = 22 ，由0≤λ≤1，解得 λ=23 ，∴在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，且 EPEC = 23 ．

查看本题答案和解析