题目

已知数列 满足： ， （1） 求数列 的通项公式； （2） 若数列 满足： ，证明： 是等差数列. （3） 证明： . 答案： 解：∵ an+1=2an+1(n∈N*) ，∴ an+1+1=2(an+1) ， ∴ {an+1} 是以 a1+1=2 为首项， 2 为公比的等比数列. ∴ an+1=2n .即 an=2n−1(n∈N*) . 解：∵ 4b1−1⋅4b2−1⋅⋯⋅4bn−1=(an+1)bn ，∴ 4(b1+b2+⋯+bn)=2nbn ， ∴ 2[(b1+b2+⋯+bn)−n]=nbn ，① 2[(b1+b2+⋯+bn+bn+1)−(n+1)]=(n+1)bn .② ② − ①，得 2(bn+1−1)=(n+1)bn+1−nbn ， 即 (n−1)bn+1−nbn+2=0 ，③ ⇒nbn+2−(n+1)bn+1+2=0 .④ ④ − ③，得 nbn+2−2nbn+1+nbn=0 ，即 bn+2−2bn+1+bn=0 ，∴ bn+2−bn+1=bn+1−bn(n∈N*) ， ∴ {bn} 是等差数列. 证明：∵ akak+1=2k−12k+1−1=2k−12(2k−12)<12 ， (k=1,2,⋯,n) ∴ a1a2+a2a3+⋯+anan+1<n2 .① ∵ akak+1=2k−12k+1−1=12−12(2k+1−1)=12−13⋅2k+2k−2≥12−13⋅12k ， k=1,2,⋯,n ， ∴ a1a2+a2a3+⋯+anan+1≥n2−13(12+122+⋯+12n) =n2−13(1−12n)>n2−13 ，② 综上①，②得： n2−13<a1a2+a2a3+⋯+anan+1<n2(n∈N*) .

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