题目

如图所示，用折射率n= 的玻璃做成内径为R、外径为R'= R的半球形空心球壳，一束平行光射向此半球的外表面，且与中心对称轴OO′平行，不计多次反射。求球壳内部有光线射出的区域？（用与OO′所成夹角表示） 答案：解：设光线a′a射入外球面，沿ab方向射向内球面，刚好发生全反射，则有：sinC= 1n 可得C =45° 在△Oab中，Oa= 2 R，Ob=R 由正弦定理得 sin(180°−C)2R = sinrR 解得：r=30° 由 sinisinr =n，得 i=45° 又因为∠O′Oa=i，∠θ=C-r=45°-30°=15° 所以∠O′Ob=i+θ=45°+15°=60° 当射向外球面的入射光线的入射角小于i=45°时，这些光线都会射出内球面。因此，以OO'为中心线，上、下（左、右）各60°的圆锥球壳内均有光线射出。

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