题目

一轻质弹簧直立在水平地面上，其劲度系数为k=400 N/m，弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子内装物体B，B的上、下表面恰与盒子接触，如图所示。A和B的质量mA=mB=1 kg，g取10 m/s2 ， 不计阻力。先将A向上抬高使弹簧伸长5 cm，后由静止释放A，A和B一起沿竖直方向做简谐运动。已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小，试求： （1） 盒子A的振幅； （2） 物体B的最大速率； （3） 当A、B的位移为正的最大和负的最大时，A对B的作用力的大小分别是多少? 答案： 解：A、B在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩Δx，则kΔx=(mA+mB)g，Δx= mA+mBk g=5 cm。开始释放时A处在最大位移处，故振幅A'=5 cm+5 cm=10 cm。 解：由于开始时弹簧的伸长量恰好等于A、B在平衡位置时弹簧的压缩量，故两时刻弹簧的弹性势能相等，设B的最大速率为v，物体B从开始运动至到达平衡位置时，由动能定理得mBgA'= 12 mBv2，v= 2gA' = 2  m/s。 解：在最高点，A、B受到的重力和弹力方向相同，由牛顿第二定律得(mA+mB)a1=kΔx+(mA+mB)g，a1=20 m/s2，方向向下，A对B的作用力方向向下，且F1+mBg=mBa1，得F1=mB(a1-g)=10 N；在最低点，由简谐运动的对称性得a2=20 m/s2，方向向上，A对B的作用力方向向上，且F2-mBg=mBa2，得F2=mB(g+a2)=30 N。

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