题目

每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰. （1） 求各个年级应选取的学生人数； （2） 若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率； （3） 若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记 表示该名学生答对问题的个数，求随机变量 的分布列及数学期望. 答案： 解：由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为 4:3:3 ，由于采用分层抽样方法从中选取 10 人，因此，高一年级应选取 4 人，高二年级应选取 3 人，高三年级应选取 3 人. 解：由（1）知，被选取的 10 名学生高一、高二、高三年级分别有 4 人、 3 人、 3 人，所以，从这 10 名学生任选 3 名，且 3 名学生分别来自三个年级的概率为 C41⋅C31⋅C31C103=310 . 解：由题意知，随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4 ， 且 X 服从超几何分布， P(X=k)=C7kC34−kC104 （ k=1,2,3,4 ）. 所以，随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 130 310 12 16 所以，随机变量 X 的数学期望为 E(X)=1×130+2×310+3×12+4×16=145 .

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