题目

已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， ， ， ， 的面积为1. （1） 求椭圆 的方程； （2） 设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证： 为定值. 答案： 解： 由题意得 {ca=3212ab=1a2=b2+c2 解得 a=2，b=1 . 所以椭圆 C 的方程为 x24+y2=1 解： 由（Ⅰ）知， A(2，0)，B(0，1) ， 设 P(x0，y0) ，则 x02+4y02=4 . 当 x0≠0 时，直线 的方程为 y=y0x0−2(x−2) . 令 x=0 ，得 yM=−2y0x0−2 ，从而 |BM|=|1−yM|=|1+2y0x0−2| . 直线PB的方程为 y=y0−1x0x+1 . 令 y=0 ，得 xN=−x0y0−1 ，从而 |AN|=|2−xN|=|2+x0y0−1| . 所以 |AN|⋅|BM|=|2+x0y0−1|·|1+2y0x0−2| =|x02+4y02−4x0−8y0+4x0y0−x0−2y0+2|=|4x0y0−4x0−8y0+8x0y0−x0−2y0+2| =4. 当 x0=0 时， y0=−1 ， |BM|=2，|AN|=2 所以 |AN|⋅|BM|=4 . 综上， |AN|⋅|BM| 为定值

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