题目

设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 • =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 答案：解：（Ⅰ）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足 NP→ = 2NM→ ．可得（x﹣x0，y）= 2 （0，y0），可得x﹣x0=0，y= 2 y0，即有x0=x，y0= y2 ，代入椭圆方程 x22 +y2=1，可得 x22 + y22 =1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（ 2 cosα， 2 sinα），（0≤α＜2π），OP→ • PQ→ =1，可得（ 2 cosα， 2 sinα）•（﹣3﹣ 2 cosα，m﹣ 2 sinα）=1，即为﹣3 2 cosα﹣2cos2α+ 2 msinα﹣2sin2α=1，解得m= 3(1+2cosα)2sinα ，即有Q（﹣3， 3(1+2cosα)2sinα ），椭圆 x22 +y2=1的左焦点F（﹣1，0），由kOQ=﹣ 1+2cosα2sinα ，kPF= 2sinα2cosα+1 ，由kOQ•kPF=﹣1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

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