题目

已知射线 与直线 交于点 ， 平分 ， 于点 ， ． （1） 如图1，若 ； ①求 的度数； ②试说明 平分 ． （2） 如图2，设 的度数为 ，当为多少度时，射线 是 的三等分线？并说明理由． 答案： 解：①∵AE∥OF ∴∠A=∠BOF∵OF平分∠COF∴∠BOC=60°，∠COF=30°∴∠DOF=180-30°=150°②∵∠BOC=60°∴∠AOD=60°∵OF⊥OG∴∠BOF+∠FOG=90°∴∠BOG=60°∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°∴∠DOG=60°=∠AOD∴OD平分∠AOG 解：设∠AOD=β ∵射线OD是∠AOG的三等分线∴∠AOD=2∠DOG，或∠DOG=2∠AOD若∠AOD=2∠DOG∴∠DOG= 12 β ∵∠BOC=∠AOD，OF平分∠BOC ∴∠BOF= 12 β ∵OF⊥OG ∴∠BOG=90- 12 α ∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180° ∴ 12 β+90- 12 β+β=180° ∴∠β=90° ∴∠BOF=45° ∵OF∥AE ∴∠A=∠BOF=45° 即α=45° 若∠DOG=2∠AOD=2β ∵∠BOC=∠AOD，OF平分∠BOC ∴∠BOF= 12 β ∵OF⊥OG ∴∠BOG=90- 12 α ∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180° ∴2β+90- 12 β+β=180° ∴∠β=36° ∴∠BOF=18° ∴OF∥AE ∴∠A=∠BOF=18° ∴α=18° 综上所述α为18°或45°

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