题目

国家快递大数据平台实时监测数据显示，截至2021年12月8日9时03分，我国快递年业务量首次突破千亿级别，已连续8年稳居世界第一。如图甲所示是某快递点分拣快递装置的部分简化示意图，可视为质点的某快递从倾角为的斜面顶端A点静止释放，沿斜面下滑，进入水平传送带传送，最后能从水平末端C点水平抛出，落到水平地面，斜面与传送带之间由一小段不计长度的光滑圆弧连接。已知斜面长 ， 水平传送带长 ， 传送带上表面距水平地面 ， 该快递与斜面间动摩擦因数 ， 与传动带间动摩擦因数 ， 传送带以大小为的速度顺时针转动，不考虑传送带滑轮大小。求： （1） 快递刚滑到传送带上时的速度的大小； （2） 传送带以顺时针转动，则快递落地点与抛出点C点的水平距离多大？ （3） 调节传送带速度使快递落地点与抛出点C点的水平距离最大，传送带速度至少多大？ （4） 若在传送带右侧加装一个收集装置，其内边界截面为四分之一圆形，如图乙为传送带右半部分和装置的示意图，C点为圆心，半径为 ， 若要使该快递从C点抛出后落到收集装置时的速度最小，则传送带速度应该调节为多大？ 答案： 解：从A到B，根据牛顿第二定律有mgsin53°−μ1mgcos53°=ma1可得a1=2m/s2根据vB2=2a1L1得vB=4m/s 解：因为vB>v，所以物体先减速，若在传送带上减速至v，由vB2−v2=2μ2gx可得x=0.8m<L2故先减速后匀速。从C点平抛到落地h=12gt2得t=0.5s由水平位移x=vt得x=1m 解：由题意知，若物体在传送带上一直加速，落地点与抛出点C点的水平距离最大，由vC2−vB2=2a2L2可得vC=31m/s故传送带速度至少为31m/s 解：设落到收集装置时速度为v1，则v1=vx2+(gt)2设C点抛出时水平速度为vx，落到收集装置时水平位移x，竖直位移yx2+y2=R2x=vxty=12gt2得vx2t2+25t4=34即vx=34−25t4t2代入得v1=34−25t4t2+100t2=34t2+75t2由数学可知，当34t2=75t2时，v最小，得t=1010s由vx=34−25t4t2得vx=5m/s由（2）（3）可知，物体在传送带上先匀减速到5m/s，再一起匀速，即传送带速度应该调节为5m/s

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