题目

在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D ， E ， C分别在OA ， AB ， OB上，OD＝2． （Ⅰ）如图①，求点E的坐标； （Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C ， O ， D ， E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t ， 矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S ． ①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M ， F ， 试用含有t的式子表示S ， 并直接写出t的取值范围； ②当 ≤S≤5 时，求t的取值范围（直接写出结果即可）． 答案：解：解：（Ⅰ）∵点A（6，0）， ∴OA＝6， ∵OD＝2， ∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4， ∵四边形CODE是矩形， ∴DE∥OC， ∴∠AED＝∠ABO＝30°， 在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝ AE2−AD2 ＝ 82−42 ＝4 3 ， ∵OD＝2， ∴点E的坐标为（2，4 3 ）； （Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4 3 ，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB， ∴∠E′FM＝∠ABO＝30°， ∴在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝ MF2−ME′2 ＝ (2t)2−t2 ＝ 3 t， ∴S△MFE′＝ 12 ME′•FE′＝ 12 ×t× 3 t＝ 3t22 ， ∵S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4 3 ＝8 3 ， ∴S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8 3 ﹣ 3t22 ， ∴S＝﹣ 32 t2+8 3 ，其中t的取值范围是：0＜t＜2； ②当S＝ 3 时，如图③所示： O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t， ∵∠AO'F＝90°，∠AFO'＝∠ABO＝30°， ∴O'F＝ 3 O'A＝ 3 （6﹣t） ∴S＝ 12 （6﹣t）× 3 （6﹣t）＝ 3 ， 解得：t＝6﹣ 2 ，或t＝6+ 2 （舍去）， ∴t＝6﹣ 2 ；当S＝5 3 时，如图④所示： O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t， ∴O'G＝ 3 （6﹣t），D'F＝ 3 （4﹣t）， ∴S＝ 12 [ 3 （6﹣t）+ 3 （4﹣t）]×2＝5 3 ， 解得：t＝ 52 ， ∴当 3 ≤S≤5 3 时，t的取值范围为 52 ≤t≤6﹣ 2 ．

查看本题答案和解析