题目

已知矩阵A的逆矩阵A﹣1= ． （1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 答案：解：（1）设A=abcd，则由AA﹣1=E得abcd2112=1001，解得a=23，b=﹣13，c=﹣13，d=23，所以A=23-13-1323；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）=λ-2-1-1λ-2=（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α=xy，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为1-1，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为11．

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