题目

已知函数 ， . （1） 求函数 的图象与直线 围成区域的面积； （2） 若对于 ， ，且 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解：由 f(x)={−3x,x≤−1x+4,−1<x<23x,x≥2 与 y=6 围成的区域是 △ABC ，如图所示， 其中 A(−2,6) ， B(−1,3) ， C(2,6) ， 所以 |AC|=4 ， B 到直线 AC 的距离为3， 故所求面积为 S△ABC=12×4×3=6 . 解：因为 m>0 ， n>0 ，且 m+n=4 ， 所以 mn≤(m+n2)2 ，即 mn≤4 ， 若不等式 f(x)≥mn 恒成立，则有 f(x)≥(mn)max ， 即 f(x)≥4 ，解不等式 |x−2|+2|x+1|≥4 ， 可得 {x≤−1−3x≥4 或 {−1<x<2x+4≥4 或 {x≥23x≥4 ， 解之得 x≤−43 或 x≥0 ， 所以实数 x 的取值范围为 (−∞,−43]∪[0,+∞) .

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