题目

目前高速公路收费处，有专门的ETC收费通道。车主只要在车辆前挡风玻璃上安装感应卡并预存费用，通过收费站时便不用人工缴费，也无须停车，高速通行费将从卡中自动扣除，即能够实现自动收费。这种收费系统每车收费耗时不到2s，其收费通道的通行能力是人工收费通道的5至10倍。如图所示，假设一辆汽车以正常行驶速度v1=16m/s朝收费站沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在距收费站中心线前匀减速至v2 =4m/s，然后以该速度匀速行驶一段距离，再匀加速至v1正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过t =65s缴费成功后，再启动汽车匀加速至 正常行驶。设汽车在匀减速和匀加速过程中的加速度大小分别为a1 =2m/s2 ， a2 =1m/s2.求： （1） 汽车过ETC通道时，匀变速行驶的总位移大小； （2） 若汽车通过ETC通道比通过人工收费通道速度再达到v1时节省了69s，求汽车在ETC通道匀速行的距离。 答案： 解：设汽车通过ETC通道时的匀减速过程的位移为 x1 ，匀加速过程的位移为 x2 ，则 x1=v22−v12−2a1=60m x2=v12−v222a2=120m 汽车匀变速行驶的总位移大小 x=x1+x2=180m 解：汽车通过ETC通道时，设汽车匀速行驶的距离为d，汽车匀减速过程的时间 t1=v1−v2a1=6s 匀速过程的时间 t2=dv2 匀加速过程的时间 t3=v1−v2a2=12s 所以汽车通过ETC通道的总时间 t=t1+t2+t3 汽车通过人工收费通道时，匀减速过程的时间 t′1=v1a1=8s 匀加速过程的时间 t′2=v1a2=16s 所以汽车通过人工收费通道的总时间 t′=t′1+t0+t′2=89s 则汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约的时间 Δt=t′−t=69s 解得t=20s t2=2s 汽车在ETC通道匀速行驶的距离 d=v2t2=8m

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