题目

如图甲所示，粗糙平直轨道与半径为R的光滑半圆形竖直轨道平滑连接。质量为m、可视为质点的滑块与平直轨道间的动摩擦因数为μ，由距离圆形轨道最低点为L的A点，以水平向右的不同初速度滑上平直轨道，滑过平直轨道后冲上圆形轨道，在圆形轨道最低点处有压力传感器，滑块沿圆形轨道上滑的最大高度h与滑块通过圆形轨道最低点时压力传感器的示数F之间的关系如图乙所示。 （1） 若滑块沿圆形轨道上滑的最大高度为R，求滑块在A点初速度的大小v0； （2） 求图乙中F0的大小； （3） 请通过推导写出F<3mg时h与F的关系式，并将图乙中F<3mg的部分图像补充完整。 答案： 解：由图像可知，当滑块沿圆形轨道上滑的最大高度是R时，滑块在在圆形轨道的最低点对轨道的压力是3mg； 则根据牛顿第二定律得F支-mg=m v2R 而F支=F压=3mg 解之得v= 2gR 再由A到圆形轨道的最低点，由动能定理可得-μmgL= 12 mv2- 12 mv02 解得v0= 2g(R+μL) 解：再由乙图可知，当压力为F0时，滑块刚好通过圆形轨道的最高点 故在最高点，由牛顿第二定律可得mg=m v12R 解得v1= gR 在由圆形轨道的最高点到最低点，由动能定理得mg×2R= 12 mv22- 12 mv12 解得v2= 5gR 在圆形轨道的最低点，则F0-mg=m v22R 解得F0=6mg 解：当F<3mg时，滑块上升的高度小于R，由机械能守恒得mgh= 12 mv32 在最低点F-mg=m v32R 故可得h= R2mgF−R2 所以h和F的图像是一条直线，取两个特殊点，用直线连接起来即可，而当h<0时没有意义，故只画h>0的这一部分即可.

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