题目

已知函数 ． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知 ，a=2， ，求△ABC的面积． 答案：解：（Ⅰ） f(x)=sin(2x+π6)+cos2x =sin2xcos π6 +cos2xsin π6 +cos2x = 32 sin2x+ 32 cos2x= 3 （ 12 sin2x+ 32 cos2x）= 3 sin（2x+ π3 ）．令 2kπ﹣ π2 ≤2x+ π3 ≤2kπ+ π2 ，k∈z，求得 kπ﹣ 5π12 ≤x≤kπ+ π12 ，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣ 5π12 ，kπ+ π12 ]，k∈z．（Ⅱ）由已知 f(A)=32 ，可得 sin（2A+ π3 ）= 12 ，因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以 π3 ＜2A+ π3 ＜ 5π3 ，因此，2A+ π3 = 5π6 ，解得A= π4 ．由正弦定理 asinA=bsinB ，得b= 6 ， 由A= π4 ，由B= π3 ，可得 sinC= 2+64 ， ∴S= 12 ab•sinC= 12×2×6×2+64 = 3+32

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