题目

已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（ ）． （1） 求矩阵A； （2） 求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 答案： 解：设A= (abcd) ，则由AA﹣1=E得 (abcd) (2112) = (1001) ， 解得a= 23 ，b=﹣ 13 ，c=﹣ 13 ，d= 23 ，所以A= (23−13−1323) 解：矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）= |λ−2−1−1λ−2| =（λ﹣2）2﹣1， 令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α= (xy) ，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为 (1−1) ，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为 (11)

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