题目

在平面直角坐标系xOy中，线性变换σ将点（1，0）变换为（1，0），将点（0，1）变换为（1，2）．（Ⅰ）试写出线性变换σ对应的二阶矩阵A；（Ⅱ）求矩阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量． 答案：解：（Ⅰ）设A=abcd，则abcd10=ac=10，abcd12=bd=12，∴a=b=1，c=0，d=2，∴A=1102；（Ⅱ）矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），令f（λ）=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=2，设λ1=1对应的一个特征向量为α=xy，则由λ1α=Mα，得0•x﹣y=0，可令x=1，则y=0，∴矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为10，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=2对应的一个特征向量为11．

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