题目

已知函数 为定义在 上的偶函数，当 时， . （1） 当 时，求函数 的单调区间; （2） 若函数 有两个零点：求实数 的取值范围. 答案： 解：由题意可得,当 x≥0 , m=12 时， f(x)=|e−x−12| ， 令 f(x)=0 ，即 |e−x−12|=0 ,解得 x=ln2 ， 当 0<x<ln2 时, e−x−12>0 ,所以 f(x)=e−x−12 ， 因为函数 y=e−x 在 (0,ln2) 上单调递减， 所以函数 f(x)=e−x−12 在 (0,ln2) 上单调递减; 当 x>ln2 时, e−x−12<0 ,所以 f(x)=12−e−x ， 因为函数 y=e−x 在 (ln2,+∞) 上单调递减, 所以函数 y=−e−x 在 (ln2,+∞) 上单调递增, 所以函数 f(x)=12−e−x 在 (ln2,+∞) 上单调递增; 因为函数 f(x) 为定义在 R 上的偶函数, 由偶函数在对称区间上单调性相反可得, 函数 f(x) 在 (−ln2,0) 上单调递增,在 (−∞,−ln2) 上单调递减, 故函数 f(x) 单调递减区间为 (−∞,−ln2) , (0,ln2) ，单调递增区间为 (−ln2,0),(ln2,+∞) . 解：由题可得,函数 g(x)=f(x)−14 有两个零点， 即方程 f(x)=14 有两个不同根， 因为 f(x) 为定义在 R 上的偶函数,其图象关于 y 轴对称, 故方程 f(x)=14 在 [0,+∞) 上有一个根即可. 当 m≤0 时，则 −m≥0 ,因为 e−x>0 ， 所以当 x≥0 时, f(x)=e−x−m ， 所以 m=e−x−14 在 [0,+∞) 上有一个根， 由于 y=e−x−14 在 [0,+∞) 上单调递减, 0<e−x≤1 , 所以 y=e−x−14∈(−14,34] ,即 m∈(−14,34] , 故实数 m 的取值范围为 −14<m≤0 ； 当 0<m<1 时，令 e−x−m=0 ，解得 x=−lnm ， 因为函数 y=e−x−m 为 R 上的减函数, 所以当 x∈[0,−lnm) 时, y=e−x−m>0 , 所以函数 f(x)=e−x−m 为 [0,−lnm) 上的减函数, 所以 0<f(x)≤1−m , 当 x∈[−lnm,+∞) 时， y=e−x−m<0 , 所以函数 f(x)=m−e−x 为 [−lnm,+∞) 上的增函数， 所以 0≤f(x)<m , 要使方程 f(x)=14 在 [0,+∞) 上有一个根, 只需 {1−m≥14m≤140<m<1 或 {1−m<14m>140<m<1 ，解得 0<m≤14 或 34<m<1 , 故实数 m 的取值范围为 0<m≤14 或 34<m<1 ; 当 m≥1 , x≥0 时,因为 0<e−x≤1 ,所以 e−x−m≤0 ， 所以函数 f(x)=m−e−x , 因为函数 y=e−x 在 [0,+∞) 上单调递减， 所以函数 f(x)=m−e−x 在 [0,+∞) 上单调递增, 因为 0<e−x≤1 ,所以 m−1≤m−e−x<m , 即 f(x)∈[m−1,m) ， 故只需 m−1<14<m ，即 1≤m<54 , 故实数 m 的取值范围为 1≤m<54 . 综上可得，实数 m 的取值范围为 −14<m≤14 或 34<m<54

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