题目

曲线 在矩阵 对应的变换下得到曲线 ． （1） 求矩阵A； （2） 求矩阵A的特征向量． 答案： 解：设曲线 x2+y2=1 上的任意一点 (x,y) 在矩阵 A 的对应变换作用下得到的点为 (x′,y′) ， 则 [a00b][xy]=[x′y′] ， ∴{x′=axy′=by ， ∴a2x29+b2y2=1 ， ∴{a29=1b2=1 ， 又 a>0,b>0 ， ∴a=3 ， b=1 ， ∴A=[3001] 解：由 f(λ)=|λ−300λ−1|=(λ−3)(λ−1)=0 得： λ=1 或 3 ； 当 λ=1 时，由 {−2x+0⋅y=00⋅x+0⋅y=0 得对应的特征向量为 [01] ； 当 λ=3 时，由 {0⋅x+0⋅y=00⋅x+2y=0 得对应的特征向量为 [10] ； 综上所述：矩阵A的特征向量为 [01] 和 [10]

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