题目

已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函数；又定义行列式=a1a4﹣a2a3； 函数g（θ）=（其中0≤θ≤）．（1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上也是增函数；（2）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值；（3）若记集合M={m|任意的0≤θ≤ ， g（θ）＞0}，N={m|任意的0≤θ≤ ， f[g（θ）]＜0}，求M∩N． 答案：证明：（1）在（0，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，∵定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函数，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣f（﹣x1）+f（﹣x2）=f（﹣x2）﹣f（﹣x1）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上也是增函数．解：（2）g（θ）=sinθ3-cosθmsinθ=sin2θ+mcosθ﹣3m=1﹣cos2θ+mcosθ﹣3m，=﹣（cosθ﹣m2）2+m24-3m+1，∵函数g（θ）的最大值为4，f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，又f（x）是奇函数，∴f（x）在（0，+∞）也是增函数，∵θ∈[0，π2]，∴cosθ∈[0，1]，g（θ）的最大值只可能在cosθ=0（m2≤0），cosθ=1（m2≥1），cosθ=m2（0＜m2<1）处取得，若cosθ=0，g（θ）=4，则有1﹣3m=4，m=﹣1，此时m2=-12，符合；若cosθ=1，g（θ）=4，则有﹣2m=4，m=﹣2，此时m2=-1，不符合；若cosθ=m2，g（θ）=4，则有m24-3m+1=4，m=6+43或m=6﹣43，此时m2=3+23或m=3﹣23，不符合；综上，m=﹣1．（3）∵f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且满足f（2）=0，∴f（﹣2）=0，又f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上均是增函数，由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，又M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0}，∴M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，即不等式0＜﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0，π2]恒成立，当m＞-1-cos2θ3-cosθ=-3-cosθ2+63-cosθ-103-cosθ=﹣（3﹣cosθ）﹣（103-cosθ）+6=﹣[（3﹣cosθ）+（103-cosθ）]+6，∵θ∈[0，π2]，∴cosθ∈[0，1]，3﹣cosθ∈[2，3]，∴7≥（3﹣cosθ）+（103-cosθ）≥193，﹣[（3﹣cosθ）+（103-cosθ）]+6∈[﹣1，﹣13]，此时，m＞﹣13；π2=﹣（3﹣cosθ）﹣（103-cosθ）+6=﹣[（3﹣cosθ）+（103-cosθ）]+6，∵θ∈[0，π2]，∴cosθ∈[0，1]，3﹣cosθ∈[2，3]，∴7≥（3﹣cosθ）+（103-cosθ）≥193，﹣[（3﹣cosθ）+（103-cosθ）]+6∈[﹣1，﹣13]，此时，m＞﹣13．当m＜1-cos2θ3-cosθ=-3-cosθ2+63-cosθ-83-cosθ=﹣（3﹣cosθ）﹣（83-cosθ）+6=﹣[（3﹣cosθ）+（83-cosθ）]+6，∴6≥（3﹣cosθ）+（83-cosθ）≥42，﹣[（3﹣cosθ）+（83-cosθ）]+6∈[0，6﹣42]，此时，m＜0；综上，m∈（﹣13，0）．∴M∩N=（﹣13，0）．

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