题目

某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据考试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分，现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示： 等级 不合格 合格 得分 [20，40） [40，60） [60，80） [80，100] 频数 6 x 24 y （I）若测试的同学中，分数段[20，40）、[40，60）、[60，80）、[80，100]内女生的人数分别为2人、8人、16人、4人，完成2×2列联表，并判断：是否有90%以上的充准认为性别与安全意识有关？ （II）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列及数学期望E（X）； （III）某评估机构以指标M（M= ，其中D（X）表示X的方差）来评估该校安全教育活动的成效。若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案。在（II）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？ 附表及公式：K2= ，其中n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 是否合格 性别      不合格 合格 总计 男生 女生 总计 答案：解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在 [20,40) 的频率为 0.005×20=0.1 ，故抽取的学生答卷总数为 60.1=60 ， ∴y=60×0.2=12,x=18 . 性别与合格情况的 2×2 列联表为： ∴K2=60×(14×20−10×16)230×30×24×36=109<2.706 即在犯错误概率不超过 90% 的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关. ……4分 （Ⅱ）“不合格”和“合格”的人数比例为 24:36=2:3 ，因此抽取的 10 人中“不合格”有 4 人，“合格”有 6 人，所以 X 可能的取值为 20、15、10、5、0 , P(X=20)=C64C104=114,P(X=15)=C63C41C104=821,P(X=10)=C62C42C104=37,   P(X=5)=C61C43C104=435,P(X=0)=C44C104=1210 . X 的分布列为： X 20 15 10 5 0 P 114 821 37 435 1210 所以 Eξ=20×114+15×821+10×37+5×435+0×1210=12 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知： D(X)=(20−12)2×114+(15−12)2×821+(10−12)2×37+(5−12)2×435+(0−12)2×1210=16 ∴M=E(X)D(X)=1216=34>0.7 . 故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案

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