题目

已知函数为奇函数. （1）求实数a的值，并用定义证明函数的单调性；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 答案：解： ∵f(x) 是奇函数， ∴f(0)=a−1=0 ， ∴a=1 ， f(x)=1−22x+1 ，对于任意 x1,x2∈R ，令 x1<x2 ，则 f(x1)−f(x2)=(1−22x1+1)−(1−22x2+1)=22x2+1−22x1+1=2(2x1−2x2)(2x2+1)(2x1+1) ， ∵y=2x 在 R 上是增函数，且 x1<x2 ， ∴2x1−2x2<0 ， ∴f(x1)−f(x2)<0 ， ∴f(x) 在 R 上是增函数；解： ∵f(x) 在 R 上是增函数且是奇函数则不等式 f(t2+2)+f(t2−tk)>0 恒成立，等价于 f(t2+2)>f(tk−t2) 恒成立，即 t2+2>tk−t2 ，即 2t2−kt+2>0 恒成立， ∴Δ=k2−4×2×2<0 ，解得 −4<k<4

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