题目

已知f（x）为二次函数，且．（1）求f（x）的表达式； （2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并证明． 答案：【答案】（1）；（2）增函数，证明见解析．【解析】（1）利用题中所给的条件，先设出函数的解析式，利用，将式子化为恒等式，利用对应项系数相等，得到方程组，求得结果；（2）先化简函数解析式，利用单调性的定义，证明得到函数的单调性，得到结果.（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由条件得：a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x， 从而， 解得：， 所以f（x）=x2﹣2x﹣1； （2）函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增． 理由如下：g（x）==，设设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2， 则g（x1）﹣g（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）（1+）， ∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1+＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．

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