题目

如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，点是侧棱的上一点．（1）证明：当点是的中点时，平面；（2）若二面角的余弦值为，求的长． 答案：【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）由已知利用线面垂直的判定可得平面，则；再由已知求得，，可得，则，从而证得结论；（2）以为坐标原点，，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，然后利用二面角的余弦值为构造方程，求解得到的长.（1）证明：由题意：且，平面，则是的中点 ，又 同理，则平面（2）以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系设，则，，由条件易知平面，故取为平面的法向量设平面的法向量为，则且，，取，得由得，即

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