题目

已知函数；（1）讨论的极值点的个数；（2）若，且恒成立，求的最大值．参考数据：1.61.71.84.9535.4746.0500.4700.5310.588 答案：【答案】(1)见解析;(2)10.【解析】（1）求导数得到，然后分和两种情况讨论函数的极值点的个数．（2）由（1）知有极大值，且满足①，且，要使恒成立，只需②，代换后可得只需，又，所以只需．然后通过分析可得函数的零点，且．又由②可得，且当时，，不等式显然恒成立；当时，，，然后令，，可得，于是可得的最大值．（1）根据题意可得，， ①当时，，函数单调递减，无极值点；②当时，令，得，又在上是增函数，且当时，，所以在上存在一解，不妨设为，所以函数在上单调递增，在上单调递减．所以函数有一个极大值点，无极小值点；总上可得：当时，无极值点；当时，函数有一个极大值点，无极小值点． （2）因为，由（1）知有极大值，且满足①，且，要使恒成立，只需②，由①可得，代入② 得，即，因为，所以，因为，，且在是增函数，设为的零点，则，可知， 由②可得，当时，，不等式显然恒成立；当时，，，令，，，所以上是减函数，且，，所以， 所以，又，所以的最大值为．

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