题目

已知函数 ．（1）若，求曲线在处切线的斜率；（2）求的单调区间；（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围． 答案：【答案】解：(Ⅰ)由已知，……………………………………………………（2分）.故曲线在处切线的斜率为.…………………………………（4分）(Ⅱ).……………………………………………………（5分）①当时，由于，故，所以，的单调递增区间为.………………………………………（6分）②当时，由，得.在区间上，，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.………（8分）（Ⅲ）由已知，转化为.…………………………………………………（9分）……………………………………………………………………………（10分）由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.)……………………（11分）当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，，…………（13分）所以，解得. ………………………………………………………………………（14分）【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。（1）利用导数的几何意义求解切线方程关键是切点坐标和该点的导数值。（2）求解定义域和导数，利用导数的正负与函数单调性的关系得到结论。（3）由已知，转化为.由(Ⅱ)知，当a0时，f(x)在x>0上单调递增，值域为R，故不符合题意.当a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)的极大值即为最大值，进而得到。解(Ⅰ)由已知，.曲线在处切线的斜率为.(Ⅱ).①当时，由于，故，所以，的单调递增区间为.②当时，由，得.在区间上，，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅲ）由已知，转化为.由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.)当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，，所以，解得.

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