题目

已知倾斜角为 的直线 过点 和点 ， 在第一象限， . （1） 求点 的坐标； （2） 若直线 与双曲线 ： 相交于 、 两点，且线段 的中点坐标为 ，求 的值； （3） 对于平面上任一点 ，当点 在线段 上运动时，称 的最小值为 与线段 的距离，已知点 在 轴上运动，写出点 到线段 的距离 关于 的函数关系式. 答案： 解：直线 AB 方程为 y=x−3 ，设点 B(x,y) ，由 {y=x−3(x−1)2+(y+2)2=18 及 x>0 ， y>0 得 x=4 ， y=1 ，点 B 的坐标为 (4,1) . 解：由 {y=x−3x2a2−y2=1 得 (1a2−1)x2+6x−10=0 ，设 E(x1,y1) ， F(x2,y2) ，则 x1+x2=−6a21−a2=4 ，得 a=2 . 解：（解法一）设线段 AB 上任意一点 Q 坐标为 Q(x,x−3) ， |PQ|=(t−x)2+(x−3)2 ， 记 f(x)=(t−x)2+(x−3)2=2(x−t+32)2+(t−3)22(1≤t≤4) . 当 1≤t+32≤4 时，即 −1≤t≤5 时， |PQ|min=f(t+32)=|t−3|2 ， 当 t+32>4 ，即 t>5 时， f(x) 在 [1,4] 上单调递减， |PQ|min=f(4)=(t−4)2+1 ； 当 t+32<1 ，即 t<−1 时， f(x) 在 [1,4] 上单调递增， |PQ|min=f(1)=(t−1)2+4 . 综上所述， h(t)={(t−1)2+4   t<−1|t−3|2            −1≤t≤5(t−4)2+1   t>5 . （解法二）过 A 、 B 两点分别作线段 AB 的垂线，交 x 轴于 A'(−1,0) ， B'(5,0) ， 当点 P 在线段 A'B' 上，即 −1≤t≤5 时，由点到直线的距离公式得： |PQ|min=|t−3|2 ； 当点 P 在点 A' 的左边， t<−1 时， |PQ|min=|PA|=(t−1)2+4 ； 当点 P 在点 B' 的右边， t>5 时， |PQ|min=|PB|=(t−4)2+1 . 综上所述， h(t)={(t−1)2+4   t<−1|t−3|2            −1≤t≤5(t−4)2+1   t>5 .

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