题目

已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明：对任意的，存在唯一的，使；（3）设（2）中所确定的关于的函数为，证明：当时，有. 答案：【答案】（1）减区间是，增区间是；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题（1）先确定函数的定义域，然后利用导数求出函数的单调区间；（2）构造函数，利用函数的单调性与零点存在定理来证明题中结论；（3）根据（2）中的结论得到，利用换元法令得到，于是将问题转化为且，构造新函数，利用导数来证明在区间上恒成立即可.试题解析：（1）函数的定义域为，，令，得，当变化时，，的变化情况如下表： 极小值 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）当时，.设，令，，由（1）知在区间内单调递增，，，故存在唯一的，使得成立；（3），由（2）知，，且，，其中，，要使成立，只需且，当时，若，则由的单调性，有，矛盾，所以，即，从而成立.又设，则，所以在内是增函数，在内为减函数，在上的最大值为成立，当时，成立.

查看本题答案和解析