题目

如图，是边长为2的正方形，平面平面，且，是线段的中点，过作直线，是直线上一动点.（1）求证：；（2）若直线上存在唯一一点使得直线与平面垂直，求此时二面角的余弦值. 答案：【答案】(1)见解析;(2)【解析】（1）先证EO⊥面ABCD，进而可得BC⊥面EOF，从而可证OF⊥BC；（2）由（1）可得平面，得到、、两两垂直，可建立空间直角坐标系，由条件得到，转化为向量，从而，转化为关于的方程有唯一实数解，得到，，又判断∠BFC为二面角B﹣OF﹣C的平面角，利用向量夹角公式可求二面角B﹣OF﹣C的余弦值．（1）因为，是中点，故， 又因为平面平面，平面平面，故平面，所以；因为，，所以，故平面， 所以.（2）设的中点为，则有，由（1），平面，所以、、两两垂直.可如图建立空间直角坐标系.依题意设点的坐标为，点的坐标为，又，，所以，，由（1）知，故与平面垂直，等价于，故，从而，即，直线上存在唯一一点使得直线与平面垂直，即关于的方程有唯一实数解.所以，解得，此时.故点的坐标为，点的坐标为.因为平面，所以且，所以即二面角的平面角. 因为，，所以，即若直线上存在唯一一点使得直线与平面垂直时，所以二面角的余弦值为.

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