题目

在如图甲所示的平面直角坐标系xOy（其中Ox水平，Oy竖直）内，矩形区域OMNP充满磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场（边界处有磁场），其中=d， ， P点处放置一垂直于x轴的荧光屏，现将质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从OM边的中点A处以某一速度垂直于磁场且沿与y轴负方向夹角为45°的方向射入磁场，不计粒子重力。 （1） 求粒子恰好能打在荧光屏上与A等高的点的速度大小； （2） 求粒子能从OM边射出磁场的最大速度及其对应的运动时间。 （3） 若规定垂直纸面向外的磁场方向为正方向，磁感应强度B的变化规律如图乙所示（图中B0已知），调节磁场的周期，满足 ， 让上述粒子在t=0时刻从坐标原点O沿与x轴正方向成60°角的方向以一定的初速度射入磁场，若粒子恰好垂直打在屏上，求粒子的可能初速度大小及打在光屏上的位置。 答案： 解：要使粒子恰好能打在荧光屏上与A等高的点，则粒子速度方向偏转了90°，轨迹如图所示由几何关系可得2R1sin45o=OP¯=2d由洛伦兹力作为向心力可得qv1B=mv12R1联立解得v1=2qBdm 解：当粒子的轨迹恰好与MN相切时，对应的速度最大，如图所示由几何关系可得R2sin45o+R2=12OM¯=34d由洛伦兹力作为向心力可得qv2B=mv22R2联立解得v2=3(2−2)qBd4m可知轨迹对应圆心角为270°，粒子在磁场中的运动周期为T′=2πmqB故对应的运动时间为t′=270o360oT′=34⋅2πmqB=3πm2qB 解：由题意可知，磁场的周期满足T=2πm3qB0可知每经过T2，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角均为60°，运动轨迹如图所示粒子打在荧光屏上的Q点，由几何关系可得∠QOP=30o则PQ=dcos30o=233d设粒子在磁场中运动的轨道半径为R3，每次偏转对应的圆心角均为60°，粒子恰好垂直打在屏上，由几何关系可得2⋅233d=(2n+1)R3(n=0，1，2，3…)由洛伦兹力作为向心力可得qv3B=mv32R3联立解得v3=43qB0d3(2n+1)m(n=0，1，2，3…)

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