题目

如图，在四棱锥 中底面 为菱形， ，平面 垂直于平面 ，G，H分别为 和 的重心. （1） 证明： 平面 ； （2） 求锐二面角 的余弦值. 答案： 如图所示，取 AD 中点O，连接 PO,BO ， 因为G，H分别为 △PAD 和 △ABD 的重心，所以G，H分别在 PO,BO 上， 且 PGGO=BHHO=2 ，所以 GH∥PB ， 又因为 GH⊂ 平面 PBD ， PB⊂ 平面 PBD ，所以 GH// 平面 PBD . 由 ∠DAB=∠DAP=60° ， PA=PD=AD=AB=BD ， 所以 △PAD 和 △ABD 均为等边三角形，所以 PO⊥AD,BO⊥AD ， 又平面 PAD 垂直于平面 ABCD 且交线为 AD ， 所以 PO⊥ 平面 ABCD ，即 OA,OB,OP 两两相互垂直， 以O为原点，分别以 OA,OB,OP 所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设 PA=2 ，则 P(0,0,3),B(0,3,0),C(−2,3,0),D(−1,0,0) ， PB→=(0,3,−3),DP→=(1,0,3),CB→=(2,0,0) ， 设平面 DPB 的法向量为 n1→=(x1,y1,z1) ，则 {3y1−3z1=0x1+3z1=0 ，取 n1→=(−3,1,1) ， 设平面 CPB 的法向量为 n2→=(x2,y2,z2) ，则 {3y1−3z1=02x1=0 ，取 n2→=(0,1,1) ， 设锐二面角 D−PB−C 的大小为 θ ，可得 cosθ=|cos<n1→,n2→>|=1+152=105 .

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