题目

一张如图①的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图②，铁盒底面长方形的长是 ， 宽是 ， 这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积. （1） 请用a的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； （2） 若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为 ， 则油漆这个铁盒需要多少钱（用a的代数式表示）？ （3） 是否存在一个正整数a，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个a，若不存在，请说明理由. 答案： 解：原铁皮的面积是（4a+60）（3a+60）＝12a2+420a+3600（cm2）； 解：油漆这个铁盒的表面积是：12a2+2×30×4a+2×30×3a＝12a2+420a（cm2），则油漆这个铁盒需要的钱数是：（12a2+420a）÷a50＝（12a2+420a）×50a＝600a+21000（元）； 解：铁盒的全面积是4a×3a+4a×30×2+3a×30×2＝12a2+420a（cm2），底面积是12a2cm2，假设存在正整数n，使12a2+420a＝n（12a2），则（n﹣1）a＝35，当a＝35时，n＝2；当a＝7时，n＝6；当a＝5时，n＝8；当a＝1时，n＝36.所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a＝35或7或5或1.

查看本题答案和解析