题目

某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x台需另投入成本C(x)元，且 若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完． （1） 求制造商所获月利润L(x)（元）关于月产量x（台）的函数关系式； （2） 当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润． 答案： 解：当0＜x＜40时，L(x)＝1000x－10x2－400x－3000＝－10x2＋600x－3000； 当40≤x≤100时，L(x)＝ 1000x−1004x−10000x+9800−3000 =6800−(4x+10000x) ． 所以 L(x)={−10x2+600x−3000，0<x<40，6800−(4x+10000x)，40≤x≤100. 解：①当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－30)2＋6000， 所以当x＝30时，L(x)max＝L(30)＝6000． ②当40≤x≤100时， L(x)=6800−(4x+10000x) ≤6800−24x⋅10000x=6400 ， 当且仅当 4x=10000x ，即x＝50时取等号． 因为6400＞6000，所以x=50时，L(x)最大． 答：月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．

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