题目

如图，棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1 ， E、F分别为棱B1C1、BB1中点，G在A1D上且DG＝3GA1 ， 过E、F、G三点的平面 截正方体. （1） 作出截面图形并求出截面图形面积（保留作图痕迹）； （2） 求A1C1与平面 所成角的正弦值. （注意：本题用向量法求解不得分） 答案： 解：如图截面为矩形 EFNM ： 因为 EF// 平面 ADD1A1 ，且平面 EFNM ∩ 平面 ADD1A1=MN ，所以 EF//MN ， 又因为 EF//BC1//AD1,EF=12BC1=12AD1 ，且 DG=3GA ，所以可知 MN//AD1,MN=12AD1 ， 所以 MN//EF,MN=EF ，所以可知 M,N 为棱 AA1,A1D1 的中点， 所以四边形 EFNM 为矩形，且 EF=1+1=2,ME=2 ，所以截面 EFNM 的面积为 22 ； 解：记 ME∩A1C1=H ，连接 GH ，如图所示： 因为 NF//AB ， AB⊥ 平面 AA1D1D ，所以 NF⊥ 平面 AA1D1D ， 又 A1G⊂ 平面 AA1D1D ，所以 NF⊥A1G ， 由（1）知 MN//AD1 且 A1D⊥AD1 ，所以 MN⊥A1D ，所以 MN⊥A1G ，且 MN∩NF=N ， A1G⊥ 平面 EFNM ，所以 A1C1 与平面 α 所成角为 ∠A1HG ， 因为 A1G=14A1D=224=22 ， A1H=12A1C1=2 ，所以 sin∠A1HG=A1GA1H=12 ， 所以 A1C1 与平面 α 所成角的正弦值为 12 .

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