题目

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ）的图象如图所示，直线x= ，x= 是其两条对称轴． （1） 求函数f（x）的解析式及单调区间； （2） 若f（α）= ，且 ，求 的值． 答案： 解：由题意， T2 = 7π8 ﹣ 3π8 = π2 ，∴T=π； 又∵ω＞0，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）；∵f（ 3π8 ）=2sin（ 3π4 +φ）=2，∴解得φ=2kπ﹣ π4 （k∈Z）；又∵﹣ π2 ＜φ＜ π2 ，∴φ=﹣ π4 ，∴f（x）=2sin（2x﹣ π4 ）； ∵2kπ﹣ π2 ≤2x﹣ π4 ≤2kπ+ π2 （k∈Z），∴kπ﹣ π8 ≤x≤kπ+ 3π8 （k∈Z），∴函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣ π8 ，kπ+ 3π8 ]（k∈Z） 解：解法1：依题意得，2sin（2α﹣ π4 ）= 65 ，即sin（2α﹣ π4 ）= 35 ， ∵ π8 ＜α＜ 3π8 ，∴0＜2α﹣ π4 ＜ π2 ；∴cos（2α﹣ π4 ）= 1−(sin(2α−π4))2 = 45 ， f（ π8 +α）=2sin[（2α﹣ π4 ）+ π4 ]；∵sin[（2α﹣ π4 ）+ π4 ]=sin（2α﹣ π4 ）cos π4 +cos（2α﹣ π4 ）sin π4 = 22 （ 35 + 45 ）= 7210 ，∴f（ π8 +α）= 725 ． 解法2：依题意得，sin（2α﹣ π4 ）= 35 ，得sin2α﹣cos2α= 325 ，①∵ π8 ＜α＜ 3π8 ，∴0＜2α﹣ π4 ＜ π2 ，∴cos（α﹣ π4 ）= 1−sin2(2α−π4) = 45 ，由cos（2α﹣ π4 ）= 45 得，sin2α+cos2α= 425 ；② ①  +②得，2sin2α= 725 ，∴f（ π8 +α）= 725 ．（解法3：由sin（2α﹣ π4 ）= 35 得，sin2α﹣cos2α= 325 ，两边平方得，1﹣sin4α 1825 ，∴sin4α= 725 ，∵ π8 ＜α＜ 3π8 ，∴ π2 ＜4α＜ 3π2 ，∴cos4α=﹣ 1−sin24α =﹣ 2425 ，∴sin22α= 1−cos4α2 = 4950 ；又∵ π4 ＜2α＜ 3π4 ，∴sin2α= 7210 ，∴f（ π8 +α）= 725 ．

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