题目

已知函数 ， . （1） 求的极值； （2） 若 ， 且 ， 函数有且仅有两个零点，求a的取值范围. 答案： 解：由题设，f(x)=1−lnxx2， 当x∈(0，e)时f'(x)>0，f(x)递增；当x∈(e，+∞)时f'(x)<0，f(x)递减， ∴f(x)的极大值为f(e)=1e，无极小值. 解：要使y=f(x)−f(a)有且仅有两个零点，即f(x)与y=lnaa有两个交点， 由（1），x∈(0，e)时f(x)∈(−∞，1e)；x∈(e，+∞)时f(x)∈(0，1e)， ∴0<lnaa<1e，则y=f(x)−f(a)有且仅有两个零点，又a>0且a≠1， ∴a∈(1，e)、(e，+∞)时，f(a)∈(0，1e)， ∴a的取值范围(1，e)∪(e，+∞).

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