题目

在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE>DE），AE，BD交于点F． （1） 如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H． 求证：∠EAB=∠GHC； （2） AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明． 答案： 证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°， ∴∠AGH=∠GHC． ∵GH⊥AE， ∴∠EAB=∠AGH． ∴∠EAB=∠GHC． 解：①补全图形，如图所示． ② AE=2CN ． 证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q． ∵四边形ABCD是正方形， ∴点A，点C关于BD对称． ∴NA=NC，∠1=∠2． ∵PN垂直平分AE， ∴NA=NE． ∴NC=NE． ∴∠3=∠4． 在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°， ∴∠AQE=∠4． ∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°． ∴∠ANE=∠ANQ=90°． 在Rt△ANE中， ∴ AE=2CN ．

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