题目

已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1 ， F2 ， 设点F1 ， F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形． （1） 求椭圆C的标准方程； （2） 设A，B，P为椭圆C上三点，满足 = + ，记线段AB中点Q的轨迹为E，若直线l：y=x+1与轨迹E交于M，N两点，求|MN|． 答案： 解：∵点F1，F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形．∴2c=4，b=2，故c=2，a=2 2 ，故椭圆C的标准方程为： x28+y24=1 解：设A（2 2 cosα，2sinα），B（2 2 cosβ，2sinβ），∵ OP→ = 35 OA→ + 45 OB→ ，∴ OP→ =（ 62cosα+82cosβ5 ， 6sinα+8sinβ5 ），∵点P在椭圆上，∴（3cosα+4cosβ）2+（3sinα+4sinβ）2=25，∴cosαcosβ+sinαsinβ=0，∴cos（α﹣β）=0，∴a﹣β= π2 ，∴B（2 2 sinα，﹣2cosα），∴AB中点Q的坐标为（ 2 cosα+ 2 sinα，sinα﹣cosα），设Q的点坐标为（x，y），∴x= 2 cosα+ 2 sinα，y=sinα﹣cosα，∴ x24 =cos2α+2cosαsinα+sin2α=1+2cosαsinα，y2=cos2α﹣2cosαsinα+sin2α=1﹣2cosαsinα∴ x24 +y2=2， 即线段AB中点Q的轨迹为E的方程为 x28+y22=1 ，设M，N两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2），由 {x28+y22=1y=x+1 ，消y，整理得5x2+8x﹣4=0，∴x1+x2=﹣ 85 ，x1x2=﹣ 45 ，∴|MN|= 1+k2 |x1﹣x2|= 1+1 • (x1+x2)2−4x1x2 = 2 • 6425+165 = 1225 ．

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