题目

数列满足 ． （1） 求； （2） 求数列的前n项和； （3） 数列的前n项和为 ， 且 ， 证明：对任意的 ． 答案： 解：因为a1+a22+a33+⋯+ann=3n−1，当n=1时，a1=31−1=2，当n≥2时，a1+a22+a33+⋯+an−1n−1=3n−1−1，两式相减得ann=3n−3n−1=2⋅3n−1，所以an=2n⋅3n−1(n≥2)，又a1=2符合上式，所以an=2n⋅3n−1． 解：Sn=2⋅30+4⋅31+6⋅32+⋯+2n⋅3n−1，所以3Sn=2⋅31+4⋅32+⋯+(2n−2)⋅3n−1+2n⋅3n，所以Sn−3Sn=2⋅(30+31+32+⋯+3n−1)−2n⋅3n，即−2Sn=2×1−3n1−3−2n⋅3n=(1−2n)⋅3n−1，所以Sn=2n−12⋅3n+12． 证明：由（2）知Tn=2Sn−14n=(2n−1)⋅3n4n，因为Tn+1−Tn=(2n+1)⋅3n+14n+1−(2n−1)⋅3n4n=7−2n4⋅(34)n所以当n≤3(n∈N∗)时，Tn+1>Tn；所以当n≥4(n∈N∗)时，Tn+1<Tn，所以Tn≤T4．

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