题目

已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，过F的所有弦中，最短弦长为4. （1） 求p的值； （2） 在抛物线C上有两点A，B，过A，B分别作C的切线，两条切线交于点Q，连接QF，AF，BF，求证：|QF|2＝|AF|·|BF|. 答案： 解：当过F的直线斜率不存在时，此时弦长为2p； 当过F的直线斜率存在时，设直线方程为 y=k(x−p2) ， 联立 {y2=2px，  y=k(x−p2)，   可得 k2x2−p(k2+2)x+p2k24=0 ， 弦长为 x1+x2+p=p(k2+2)k2+p=2p+2pk2>2p ， 所以弦长最短为 2p=4 ，所以 p=2 . 证明：设 A(y124，  y1) ， B(y224，  y2) ， 设过A点且与抛物线相切的直线 lAQ ： y=k′(x−y124)+y1 ， 联立 {y2=4x，  y=k′(x−y124)+y1，   可得 k′4y2−y−k′y124+y1=0 ， Δ=1−k′(y1−k′y124)=0 ，解得 k′y1=2 ， 可得 lAQ ： y1y=2x+y122 ，同理可得 lBQ ： y2y=2x+y222 ， 联立得 Q(y1y24，  y1+y22) ， |AF| · |BF|=(y124+1)(y224+1) ， |QF|2=(y1y24−1)2+(y1+y2)24=y12y2216+y124+y224+1=(y124+1)(y224+1) ， 所以 |QF|2=|AF| · |BF| .

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