题目

已知函数 是R上的偶函数，其中e是自然对数的底数． （1） 求实数 的值； （2） 探究函数 在 上的单调性，并证明你的结论； （3） 若函数 有零点，求实数m的取值范围． 答案： 解：∵函数 f(x) 是偶函数， ∴ f(−x)=f(x) ，即 e−x+aex=ex+ae−x ， 整理得 (a−1)(ex−e−x)=0 在R上恒成立， ∴ a=1 ． 解：函数 f(x)=ex+e−x 在 [0,+∞) 上单调递增．证明如下： 当 x≥0 时， f(x)=ex+e−x ． 设 0≤x1<x2 ， 则 f(x1)−f(x2)=ex1+e−x1−ex2−e−x2 =ex1−ex2−(1ex1−1ex2) =ex1−ex2−ex2−ex1ex1ex2 =(ex1−ex2)⋅(1+1ex1ex2) ， ∵ 0<x1<x2 ， ∴ ex1<ex2 ，即 ex1−ex2<0 ， ∴ f(x1)−f(x2)<0 ， ∴ f(x1)<f(x2) ， ∴函数 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递增． 解：由题意得 g(x)=f(2x)−2m[f(x)−m]−8 =e2x+e−2x−2m(ex+e−x−m)−8 =(ex+e−x)2−2m(ex+e−x−m)−10 ． 令 t=ex+e−x≥2ex⋅e−x=2 ，当且仅当 x=0 时等号成立， 且 h(t)=t2−2mt+2m2−10=(t−m)2+m2−10,t≥2 ， ∵函数 g(x) 有零点， ∴函数 h(t) 在 [2,+∞) 上有零点． ①当 h(t) 在 [2,+∞) 上只有一个零点时， 则 h(2)=2m2−4m−6≤0 ，即 m2−2m−3≤0 ， 解得 −1≤m≤3 ； ②当 h(t) 在 [2,+∞) 上有两个零点时， 则 {Δ=4m2−4(2m2−10)≥0m≥2h(2)=2m2−4m−6≥0  ，即 {m2≤10m≥2m2−2m−3≥0  ， 解得 3≤m≤10 ． 综上可得 −1≤m≤10 ． ∴当函数 g(x) 有零点时，实数 m 的取值范围为 [−1,10] ．

查看本题答案和解析