题目

如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F． （1） 求证：直线EF是⊙O的切线； （2） CF=5，cos∠A= ，求AE的长． 答案： 证明：如图，连结OD． ∵CD=DB，CO=OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB=2OD，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线 解：∵OD∥AB， ∴∠COD=∠A．在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，∴cos∠A=cos∠FOD= ODOF = 25 ，设⊙O的半径为R，则 RR+5 = 25 ，解得R= 103 ，∴AB=2OD= 203 ．在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，∴cos∠A= AEAF = AE5+203 = 25 ，∴AE= 143

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