题目

若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形.如图1，四边形ABCD中，若AC＝BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形.根据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.根据以上信息回答： （1） 矩形奇妙四边形（填“是”或“不是”）； （2） 如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是奇妙四边形，若⊙O的半径为8，∠BCD＝60°.求奇妙四边形ABCD的面积； （3） 如图3，已知⊙O的内四边形ABCD是奇妙四边形，作OM⊥BC于M.请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论. 答案： 【1】不是 解：如图2 连接OB,OD,作OH⊥BD于H， ∵∠BOD=2BCD=2×60°=120° ∴∠OBD=30°   ∴OH=½OB=3 ∴BH= 3 OH=3 3 ∵BD=2BH=6 3      ∴AC=BD=6 3 ∴“奇妙四边形”ABCD的面积= 12 ·AC·BD=54 解：如图3 作直径BE，连接EC ∵MO⊥BC  ∴M是BC的中点 ∴MO是△BCE的中位线 ∴CE=2MO ∵四边形ABCD是奇妙四边形 ∴BD⊥AC ∴∠A+∠ABD=90° ∵∠BCE=90° ∴∠E+∠CBE=90° ∵∠A=∠E ∴∠ABD=∠CBE ∴AD=CE ∴AD=2MO

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