题目

我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线， ， 垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设 ， ， ． 特例探索 （1） ①如图1，当 ， 时，      ▲  ，       ▲ ；②如图2，当 ， 时，求a和b的值． （2） 请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． （3） 利用（2）中的结论，解答下列问题：在菱形ABCD中，对角线 ， ， O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图4所示，求的值． 答案： 解：①25；25；②如图2，∵c=AB=8，∠ABE=30°，同理可得：AP=4，PB=43 ，∴PF=2，PE=23，则a=2BF=2(43)2+22=413，b=2AE=242+(23)2=47．归纳证明 解：关系为：a2+b2＝5c2，证明：如图3，设：∠EBA＝α，则：PB＝ABcosα＝ccosα，PA＝csinα，由①得：PF＝12PA＝12c·sinα，PE=12c·cosα，∵sin2α+cos2α=(APAB)2+(BPAB)2=AP2+BP2AB2=1，∴ a2+b2＝（2AE）2+（2BF）2＝c2×5[（sinα）2+（cosα）2]＝5c2； 解：∵菱形ABCD，AC=6，BD=62，∴OA=OC=3，OB=OD=32，AD∥BC，AC⊥BD， ∴△AGE∽△CBE，BC=32+(32)2=33，∴AGBC=AECE，∵E，F分别为线段AO，DO的中点，∴ AE＝OE＝13EC，EF=12AD，EF∥AD，∴AG＝13BC＝13AD，EF＝12BC＝12AD，∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥BC，∴△MEF∽△MBC， ∴EFBC=MEMB=MFMC=12，∴E，F分别是BM，CM的中点，同理可得：DH=13BC=13AD，∴HG＝13AD， ∴GH＝23EF，∵HG∥EF，同理可得：MG＝23ME＝13MB，同理可得：MH＝13MC，则MG2+MH2＝19（MB2+MC2）＝19×5×BC2＝19×5×(33)2=15.

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