题目

如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°． （1） 如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，求 ，请证明你的结论； （2） 如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则 =； （3） 如图3，若 =k，BC=m，AC=n，请直接写出 的值．（用k，m，n表示） 答案： 解：如图1中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，∵AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点，∴CD平分∠ACB，∵PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，∴PG=PH，∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，∴∠GPH=∠MPN=90°，∴∠MPH=∠NPG，∵∠PHM=∠PGN=90°，∴△PHM∽△PGN，∴ PMPN=PHPG =1 【1】nm 解：如图3中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K，易证△PMH∽△PGN，∴ PMPN=PHPG ，∵ S△ACDS△BCD=12AC·DT12BC·DK=ADBD ，∴ DKDT=kn(1−k)m ，∵DT∥PG，DK∥PH，∴ PHDK=CPCD=PGDT ，∴ PHPG=DKDT=kn(1−k)m ，∴ PMPN=kn(1−k)m

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